Complete Latin-Euler Magic Square A of Order4      [1]    
    Put only in one Integer in a and d.                                                                                                                                                                                                                                  
                        Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 01               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 02               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 03               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 04               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 05               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 06               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 07               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 08      
  a = 1   a = 0,1,2,3…… [-∞ < a < ∞]     1 12 14 7 34   A1 C4 D2 B3         1 11 14 8 34   A1 C3 D2 B4         1 12 15 6 34   A1 C4 D3 B2         1 10 15 8 34   A1 C2 D3 B4         1 11 16 6 34   A1 C3 D4 B2         1 10 16 7 34   A1 C2 D4 B3         2 12 13 7 34   A2 C4 D1 B3         2 11 13 8 34   A2 C3 D1 B4    
                    15 6 4 9 34   D3 B2 A4 C1         16 6 3 9 34   D4 B2 A3 C1         14 7 4 9 34   D2 B3 A4 C1         16 7 2 9 34   D4 B3 A2 C1         14 8 3 9 34   D2 B4 A3 C1         15 8 2 9 34   D3 B4 A2 C1         15 5 4 10 34   D3 B1 A4 C2         16 5 3 10 34   D4 B1 A3 C2    
  d = 1   d = 1,2,3,4…… num: [d ≠ 0]     8 13 11 2 34   B4 D1 C3 A2         7 13 12 2 34   B3 D1 C4 A2         8 13 10 3 34   B4 D1 C2 A3         6 13 12 3 34   B2 D1 C4 A3         7 13 10 4 34   B3 D1 C2 A4         6 13 11 4 34   B2 D1 C3 A4         8 14 11 1 34   B4 D2 C3 A1         7 14 12 1 34   B3 D2 C4 A1    
                    10 3 5 16 34   C2 A3 B1 D4         10 4 5 15 34   C2 A4 B1 D3         11 2 5 16 34   C3 A2 B1 D4         11 4 5 14 34   C3 A4 B1 D2         12 2 5 15 34   C4 A2 B1 D3         12 3 5 14 34   C4 A3 B1 D2         9 3 6 16 34   C1 A3 B2 D4         9 4 6 15 34   C1 A4 B2 D3    
  Σ = 34   Σy = sum(A1:E5) /n       34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34              
                    34 34 34 34 34   A1 B2 C3 D4         34 34 34 34 34   A1 B2 C4 D3         34 34 34 34 34   A1 B3 C2 D4         34 34 34 34 34   A1 B3 C4 D2         34 34 34 34 34   A1 B4 C2 D3         34 34 34 34 34   A1 B4 C3 D2         34 34 34 34 34   A2 B1 C3 D4         34 34 34 34 34   A2 B1 C4 D3    
  Σ = 34   Σ(n:a,d) = ½·n·[2·a + d·(n^2 -1)]                 C2 D1 A4 B3                     C2 D1 A3 B4                     C3 D1 A4 B2                     C3 D1 A2 B4                     C4 D1 A3 B2                     C4 D1 A2 B3                     C1 D2 A4 B3                     C1 D2 A3 B4    
        [Hunter and Madachy 1975]                                                                                                                                                                                                                                
    MS order n = 4        
          The Key    
        A1   = 1                                                                                                                                                                                                                                  
        A2   = 2           Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 09               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 10               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 11               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 12               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 13               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 14               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 15               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 16      
        A3   = 3       2 12 15 5 34   A2 C4 D3 B1         2 9 15 8 34   A2 C1 D3 B4         2 11 16 5 34   A2 C3 D4 B1         2 9 16 7 34   A2 C1 D4 B3         3 12 13 6 34   A3 C4 D1 B2         3 10 13 8 34   A3 C2 D1 B4         3 12 14 5 34   A3 C4 D2 B1         3 9 14 8 34   A3 C1 D2 B4    
        A4   = 4       13 7 4 10 34   D1 B3 A4 C2         16 7 1 10 34   D4 B3 A1 C2         13 8 3 10 34   D1 B4 A3 C2         15 8 1 10 34   D3 B4 A1 C2         14 5 4 11 34   D2 B1 A4 C3         16 5 2 11 34   D4 B1 A2 C3         13 6 4 11 34   D1 B2 A4 C3         16 6 1 11 34   D4 B2 A1 C3    
        B1   = 5       8 14 9 3 34   B4 D2 C1 A3         5 14 12 3 34   B1 D2 C4 A3         7 14 9 4 34   B3 D2 C1 A4         5 14 11 4 34   B1 D2 C3 A4         8 15 10 1 34   B4 D3 C2 A1         6 15 12 1 34   B2 D3 C4 A1         8 15 9 2 34   B4 D3 C1 A2         5 15 12 2 34   B1 D3 C4 A2    
        B2   = 6       11 1 6 16 34   C3 A1 B2 D4         11 4 6 13 34   C3 A4 B2 D1         12 1 6 15 34   C4 A1 B2 D3         12 3 6 13 34   C4 A3 B2 D1         9 2 7 16 34   C1 A2 B3 D4         9 4 7 14 34   C1 A4 B3 D2         10 1 7 16 34   C2 A1 B3 D4         10 4 7 13 34   C2 A4 B3 D1    
        B3   = 7       34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 374                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 374                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34              
        B4   = 8       34 34 34 34 34   A2 B3 C1 D4         34 34 34 34 34   A2 B3 C4 D1         34 34 34 34 374   A2 B4 C1 D3         34 34 34 34 34   A2 B4 C3 D1         34 34 34 34 34   A3 B1 C2 D4         34 34 34 34 374   A3 B1 C4 D2         34 34 34 34 34   A3 B2 C1 D4         34 34 34 34 34   A3 B2 C4 D1    
        C1   = 9                   C3 D2 A4 B1                     C3 D2 A1 B4                     C4 D2 A3 B1                     C4 D2 A1 B3                     C1 D3 A4 B2                     C1 D3 A2 B4                     C2 D3 A4 B1                     C2 D3 A1 B4    
        C2   = 10                                                                                                                                                                                                                                  
        C3   = 11  
        C4   = 12  
        D1   = 13                                                                                                                                                                                                                                  
        D2   = 14           Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 17               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 18               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 19               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 20               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 21               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 22               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 23               Magic Square of Order 4 A           # Matrix A 24      
        D3   = 15       3 10 16 5 34   A3 C2 D4 B1         3 9 16 6 34   A3 C1 D4 B2         4 11 13 6 34   A4 C3 D1 B2         4 10 13 7 34   A4 C2 D1 B3         4 11 14 5 34   A4 C3 D2 B1         4 9 14 7 34   A4 C1 D2 B3         4 10 15 5 34   A4 C2 D3 B1         4 9 15 6 34   A4 C1 D3 B2    
        D4   = 16       13 8 2 11 34   D1 B4 A2 C3         14 8 1 11 34   D2 B4 A1 C3         14 5 3 12 34   D2 B1 A3 C4         15 5 2 12 34   D3 B1 A2 C4         13 6 3 12 34   D1 B2 A3 C4         15 6 1 12 34   D3 B2 A1 C4         13 7 2 12 34   D1 B3 A2 C4         14 7 1 12 34   D2 B3 A1 C4    
                    6 15 9 4 34   B2 D3 C1 A4         5 15 10 4 34   B1 D3 C2 A4         7 16 10 1 34   B3 D4 C2 A1         6 16 11 1 34   B2 D4 C3 A1         7 16 9 2 34   B3 D4 C1 A2         5 16 11 2 34   B1 D4 C3 A2         6 16 9 3 34   B2 D4 C1 A3         5 16 10 3 34   B1 D4 C2 A3    
  Database TM 2025 MQM copy right © 2025     12 1 7 14 34   C4 A1 B3 D2         12 2 7 13 34   C4 A2 B3 D1         9 2 8 15 34   C1 A2 B4 D3         9 3 8 14 34   C1 A3 B4 D2         10 1 8 15 34   C2 A1 B4 D3         10 3 8 13 34   C2 A3 B4 D1         11 1 8 14 34   C3 A1 B4 D2         11 2 8 13 34   C3 A2 B4 D1    
    34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34              
    34 34 34 34 34   A3 B4 C1 D2         34 34 34 34 34   A3 B4 C2 D1         34 34 34 34 34   A4 B1 C2 D3         34 34 34 34 34   A4 B1 C3 D2         34 34 34 34 34   A4 B2 C1 D3         34 34 34 34 34   A4 B2 C3 D1         34 34 34 34 34   A4 B3 C1 D2         34 34 34 34 34   A4 B3 C2 D1    
                C4 D3 A2 B1                     C4 D3 A1 B2                     C1 D4 A3 B2                     C1 D4 A2 B3                     C2 D4 A3 B1                     C2 D4 A1 B3                     C3 D4 A2 B1                     C3 D4 A1 B2    
                                                                                                                                                                                                                               
 
                                                                                                                                                                                                                               
        Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 01               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 02               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 03               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 04               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 05               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 06               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 07               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 08      
    1 15 14 4 34   A1 D3 D2 A4         1 16 13 4 34   A1 D4 D1 A4         1 14 15 4 34   A1 D2 D3 A4         1 16 13 4 34   A1 D4 D1 A4         1 13 16 4 34   A1 D1 D4 A4         1 13 16 4 34   A1 D1 D4 A4         2 15 14 3 34   A2 D3 D2 A3         2 16 13 3 34   A2 D4 D1 A3    
    12 6 7 9 34   C4 B2 B3 C1         11 6 7 10 34   C3 B2 B3 C2         12 7 6 9 34   C4 B3 B2 C1         10 7 6 11 34   C2 B3 B2 C3         12 8 5 9 34   C4 B4 B1 C1         12 8 5 9 34   C4 B4 B1 C1         12 5 8 9 34   C4 B1 B4 C1         11 5 8 10 34   C3 B1 B4 C2    
    8 10 11 5 34   B4 C2 C3 B1         8 9 12 5 34   B4 C1 C4 B1         8 11 10 5 34   B4 C3 C2 B1         8 9 12 5 34   B4 C1 C4 B1         7 11 10 6 34   B3 C3 C2 B2         6 10 11 7 34   B2 C2 C3 B3         7 10 11 6 34   B3 C2 C3 B2         7 9 12 6 34   B3 C1 C4 B2    
    13 3 2 16 34   D1 A3 A2 D4         14 3 2 15 34   D2 A3 A2 D3         13 2 3 16 34   D1 A2 A3 D4         15 2 3 14 34   D3 A2 A3 D2         14 2 3 15 34   D2 A2 A3 D3         15 3 2 14 34   D3 A3 A2 D2         13 4 1 16 34   D1 A4 A1 D4         14 4 1 15 34   D2 A4 A1 D3    
    34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34              
    34 34 34 34 34   A1 B2 C3 D4         34 34 34 34 34   A1 B2 C4 D3         34 34 34 34 34   A1 B3 C2 D4         34 34 34 34 34   A1 B3 C4 D2         34 34 34 34 34   A1 B4 C2 D3         34 34 34 34 34   A1 B4 C3 D2         34 34 34 34 34   A2 B1 C3 D4         34 34 34 34 34   A2 B1 C4 D3    
                D1 C2 B3 A4                     D2 C1 B3 A4                     D1 C3 B2 A4                     D3 C1 B2 A4                     D2 C3 B1 A4                     D3 C2 B1 A4                     D1 C2 B4 A3                     D2 C1 B4 A3    
                                                                                                                                                                                                                               
                   
     
                                                                                                                                                                                                                               
        Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 09               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 10               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 11               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 12               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 13               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 14               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 15               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 16      
    2 14 15 3 34   A2 D2 D3 A3         2 14 15 3 34   A2 D2 D3 A3         2 15 14 3 34   A2 D3 D2 A3         2 13 16 3 34   A2 D1 D4 A3         3 14 15 2 34   A3 D2 D3 A2         3 16 13 2 34   A3 D4 D1 A2         3 15 14 1 33   A3 D3 D2 A2         3 15 14 2 34   A3 D3 D2 A2    
    11 7 6 10 34   C3 B3 B2 C2         11 7 6 10 34   C3 B3 B2 C2         9 8 5 12 34   C1 B4 B1 C4         11 8 5 10 34   C3 B4 B1 C2         12 5 8 9 34   C4 B1 B4 C1         10 5 8 11 34   C2 B1 B4 C3         10 6 7 11 34   C2 B2 B3 C3         10 6 7 11 34   C2 B2 B3 C3    
    8 12 9 5 34   B4 C4 C1 B1         5 9 12 8 34   B1 C1 C4 B4         7 10 11 6 34   B3 C2 C3 B2         7 12 9 6 34   B3 C4 C1 B2         6 11 10 7 34   B2 C3 C2 B3         6 9 12 7 34   B2 C1 C4 B3         8 12 9 5 34   B4 C4 C1 B1         5 9 12 8 34   B1 C1 C4 B4    
    13 1 4 16 34   D1 A1 A4 D4         16 4 1 13 34   D4 A4 A1 D1         16 1 4 13 34   D4 A1 A4 D1         14 1 4 15 34   D2 A1 A4 D3         13 4 1 16 34   D1 A4 A1 D4         15 4 1 14 34   D3 A4 A1 D2         13 1 4 16 34   D1 A1 A4 D4         16 4 1 13 34   D4 A4 A1 D1    
    34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 374                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 374                   34 34 34 33 34                   34 34 34 34 34              
    34 34 34 34 34   A2 B3 C1 D4         34 34 34 34 34   A2 B3 C4 D1         34 34 34 34 34   A2 B4 C3 D1         34 34 34 34 374   A2 B4 C1 D3         34 34 34 34 34   A3 B1 C2 D4         34 34 34 34 374   A3 B1 C4 D2         33 34 34 34 33   A3 B2 C1 D4         34 34 34 34 34   A3 B2 C4 D1    
                D1 C4 B2 A3                     D4 C1 B2 A3                     D4 C2 B1 A3                     D2 C4 B1 A3                     D1 C3 B4 A2                     D3 C1 B4 A2                     D1 C4 B3 A2                     D4 C1 B3 A2    
                                                                                                                                                                                                                               
                       
     
                                                                                                                                                                                                                               
        Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 17               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 18               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 19               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 20               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 21               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 22               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 23               Magic Square of Order 4 B           # Matrix B 24      
    3 13 16 2 34   A3 D1 D4 A2         3 14 15 2 34   A3 D2 D3 A2         4 16 13 1 34   A4 D4 D1 A1         4 16 13 1 34   A4 D4 D1 A1         4 13 16 1 34   A4 D1 D4 A1         4 15 14 1 34   A4 D3 D2 A1         4 13 16 1 34   A4 D1 D4 A1         4 14 15 1 34   A4 D2 D3 A1    
    10 8 5 11 34   C2 B4 B1 C3         9 8 5 12 34   C1 B4 B1 C4         9 5 8 12 34   C1 B1 B4 C4         9 5 8 12 34   C1 B1 B4 C4         11 6 7 10 34   C3 B2 B3 C2         9 6 7 12 34   C1 B2 B3 C4         10 7 6 11 34   C2 B3 B2 C3         9 7 6 12 34   C1 B3 B2 C4    
    6 12 9 7 34   B2 C4 C1 B3         6 11 10 7 34   B2 C3 C2 B3         7 11 10 6 34   B3 C3 C2 B2         6 10 11 7 34   B2 C2 C3 B3         5 12 9 8 34   B1 C4 C1 B4         5 10 11 8 34   B1 C2 C3 B4         5 12 9 8 34   B1 C4 C1 B4         5 11 10 8 34   B1 C3 C2 B4    
    15 1 4 14 34   D3 A1 A4 D2         16 1 4 13 34   D4 A1 A4 D1         14 2 3 15 34   D2 A2 A3 D3         15 3 2 14 34   D3 A3 A2 D2         14 3 2 15 34   D2 A3 A2 D3         16 3 2 13 34   D4 A3 A2 D1         15 2 3 14 34   D3 A2 A3 D2         16 2 3 13 34   D4 A2 A3 D1    
    34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34                   34 34 34 34 34              
    34 34 34 34 34   A3 B4 C1 D2         34 34 34 34 34   A3 B4 C2 D1         34 34 34 34 34   A4 B1 C2 D3         34 34 34 34 34   A4 B1 C3 D2         34 34 34 34 34   A4 B2 C1 D3         34 34 34 34 34   A4 B2 C3 D1         34 34 34 34 34   A4 B3 C1 D2         34 34 34 34 34   A4 B3 C2 D1    
                D3 C4 B1 A2                     D4 C3 B1 A2                     D2 C3 B4 A1                     D3 C2 B4 A1                     D2 C4 B3 A1                     D4 C2 B3 A1                     D3 C4 B2 A1                     D4 C3 B2 A1    
                                                                                                                                                                                                                               
                       
     
 
[1]
Mikael Hermansson:
Complete Latin-Euler Magic Square A of Order 4, if the condition of the main diagonal are A,B,C,D.